Родился в Курске в семье железнодорожника. Сильное впечатление на будущего художника произвели теневые спектакли, которые показывала ему бабушка, настоящий театр, цирк, немое кино, классическая литература. Еще учась в младших классах, Тузлуков любил рисовать театральные декорации и костюмы актеров. Юношей он организовал самодеятельный театр, ставил классику: Островского, Мольера, Шекспира. Как и многие молодые люди,  грешил поэзией. Его стихи, наполненные революционно-романтическим пафосом, часто печатались в «Курской правде», а позже вошли в литературно-художественный сборник Курской ассоциации пролетарских писателей «Четвертая полоса», изданный в 1929. Для этого сборника Тузлуков оформил обложку. Азы изобразительного искусства он постиг на занятиях в кружке при клубе железнодорожников, а общее образование — в 38-й средней школе, которую окончил в 1928 г.
     В 1931г. Борис Дмитриевич приезжает в Москву, посещает в институте кинематографии лекции корифеев отечественного кино: Эйзенштейна, Кулешова, Ромма, совершенствуется в живописи. Спустя некоторое время он получает место сотрудника Станции художественного воспитания детей Бауманского района столицы, а весной 1935 произошло событие, определившее всю дальнейшую его судьбу: организатор и руководитель Центрального театра кукол С. В. Образцов пригласил его на должность главного художника, где он проработал до 1970. Спектакли для детей и взрослых, в которых он выступал как художник-постановщик, стали школой для современного театра кукол. Союз этих выдающихся творческих личностей оказался исключительно плодотворным. Всего за время работы в театре Тузлуков оформил 24 спектакля. Первыми его работами здесь были декорации к постановке пьесы «Джим и Доллар». Наиболее полно талант художника раскрылся, когда он стал создавать и декорации, и куклы. Впервые это он сделал в 1940 году для «Волшебной лампы Аладдина». Непосредственно перед войной театр приступил к воплощению на своей сцене сказки Карло Гоцци «Король-Олень». Грозные события отодвинули премьеру, осуществленную только летом 1943 в Новосибирске. От первоначального намерения передать содержание пьесы в условно-ироническом плане пришлось отказаться. В годы войны более актуальной была тема верности и любви. Именно так был решен спектакль «Король-Олень».
     Борис Дмитриевич известен и как драматург, автор пьесы «Мой, только мой!..» (1958) — острой пародии на западный детектив. Он был одним из создателей кукольного фильма «Небесное создание». Прекрасными образцами плакатного искусства являются выполненные Тузлуковым афиши к спектаклям, очень выразительные и красивые в своей лаконичности. Из постановок, оформленных им в последние годы жизни, наиболее значительны «Божественная комедия», «Ноев ковчег», «И-ГО-ГО», долгое время занимавшие почетное место в репертуаре театра. Куклы и эскизы декораций Тузлукова с успехом демонстрировались на выставках в Бельгии, Италии, Канаде, Франции, Чехословакии и Японии, а некоторые из них нашли место в музеях нашей страны и за рубежом.